Диофантови уравнения
Тестът по — долу съдържа няколко подобни и не чак толкова подобни задачи на описаните по — долу. Ако имате нужда от помощ на някоя задача не се притеснявайте да се обърнете към родител или учител.
ВАЖНО! След като направите теста, всяка задача има кратко решение, което да Ви помогне ако изпаднете в затруднения!
📌 1. Въведение
В тази тема ще се запознаем с диофантовите уравнения – специален вид уравнения, в които търсим цели числа за решения. Ще научим как да разпознаваме такива уравнения и как да ги решаваме чрез прости методи.
Ще разгледаме:
✅ Какво представляват Диофантовите уравнения.
✅ Как да търсим цели решения, като използваме логика и опити.
✅ Интересни примери от математиката и ежедневието.
След като преминем през тази тема, ще можем да решаваме задачи, в които откриваме цели числа, които отговарят на дадени условия. Това ще ни помогне да развием математическото си мислене и умението да търсим логически връзки!
📖 2. Примерни задачи с алгоритъм
В диофантовите уравнения има две неизвестни числа. За да ги определим има 4 стъпки:
1) Сравнянваме известните множители.
2) Разделяме сбора на по — големия множител.
3) Написваме, че полученото частно е по — голямо или равно на числото, което се умножава по делителя.
4) Разглеждаме получените варианти.
Задача 1 : Решете уравнението: 5 . х + 4 . у = 62
1) Делим 62 на по — големия коефициент пред неизвестните, за да има колкото се може по — малко възможности за смятане.
5 > 4
⇒ 62 : 5 = 12 (ост. 2), но остатъкът не ни е нужен, затова не се интересуваме от него.
⇒ х ≤ 12
2) Съставяме си таблица:
!Важно! Щом намерим едно решение. можем да добавим към стойността на х(в случая) коефициента, който стои пред другото неизвестно(в случая у, като 4 е коефициента пред него.), а от у да извадим коефициента, който седи пред х(5 в случая). По този начин по — лесно и бързо можем да открием другите решения в задачата.
→ 6 + 4 = 10 и 8 — 5 = 3
⇒ Установяваме, че задачата има две решения: х = 6, у = 8 и х = 10, у = 3.
Отг. х = 6, у = 8 и х = 10, у = 3.
!ЗАПОМНЕТЕ! 0 никога не може да е решение!
Решение:
Задача 2 : Мария има общо 70 сини и розови топчета. Тя ги опаковала в пакети по 5 розови и по 7 сини. Колко пакета общо е направила Мария?
Решение:
1) Нека сините пакети са х на брой, а розовите са у на брой.
2) Съставяме си диофантовото уравнение:
7 . х + 5 . у = 70
3) 70 делим на по — големия коефициент пред неизвестните, за да имаме колкото се може по — малко за смятане. 7 > 5
⇒ 70 : 7 = 10 и х ≤ 10
4) Съставяме си таблица:
Замествайки за всяка стойност в таблицата, установяваме, че единственото решение на задачата е 5 и 7.
5 + 7 = 12 пакета общо
Отг. 12 пакета
🔢 3. Още примерни задачи
Задача 1: Изрязани са 91 ленти. Те са с равни размери и са използвани за сформирането на осмоъгълници и петнадесетоъгълници, които не се докосват по никакъв начин помежду си. Колко осмоъгълници и петнадесетоъгълници могат да се построят?
Решение:
1) Нека броят на осмоъгълниците са х, а този на петнадесетоъгълниците е у.
2) Съставяме си диофантовото уравнение:
- х + 15 . у = 91
3) 91 делим на по — големия коефициент пред неизвестните, за да имаме колкото се може по — малко за смятане.
⇒ 91 : 15 = 6 (ост. 1), но остатъкът не ни трябва.
⇒ у ≤ 6
4) Съставяме си таблица:
⇒ Броят на осмоъгълниците е 2, на петнадесетоъгълниците е 5.
Отг. 2 и 5
Задача 2: Имаме 2 листа хартия. Можем да късаме всеки от тях на 6 или 8 части. След това с получените парчета можем да правим същото. Възможно ли е по този начин да получим да получим 54 парчета?
Решение:
1) Нека броят на листовете, които се разделят на 6 части, е х, а броят на тези, които се разделят на 8 части е у.
2) Съставяме си диофантовото уравнение:
6 . х + 8 . у = 54
Разделяме цялото уравнение на 2 за улеснение в сметките.
⇒ 3 . х + 4 . у = 27
3) 27 делим на по — големия коефициент пред неизвестните, за да имаме колкото се може по — малко за смятане.
27 : 4 = 6 (ост. 3), но остатъкът не ни трябва.
⇒ у ≤ 6
4) Съставяме си таблица:
⇒ Да, възможно е, като решенията са 5 листа по 6 парчета, 3 листа по 8 парчета и 1 лист по 6 парчета и 6 листа по 8 парчета.
Отг. Да
Задача 3: В стая имало пейки с по 6 крака и столове с по 4 крака. На всяка пейка седнали по 4 деца, а на всеки стол по 1. Така общо краката станали 74. Колко са пейките и столовете по отделно?
Решение:
1) Нека броят на пейките е х, а броят на столовете е у.
⇒ Броят на краката пейките, комбиниран с броя на краката на децата на пейките, е 6 . х + 2 . 4 . х = 14 . х.
⇒ Броят на краката на столовете, комбиниран с броя на краката на децата на столовете, е 4 . у + 2 . 1 . у = 6 . у.
2) Съставяме диофантовото уравнение:
14 . х + 6 . у = 74
Разделяме цялото уравнение на 2, за да си улесним сметките.
⇒ 7 . х + 3 . у = 37
3) 37 делим на по — големия коефициент пред неизвестните, за да имаме колкото се може по — малко за смятане.
37 : 7 = 5 (ост. 2), но остатъкът не ни е нужен.
⇒ х ≤ 5
4) Съставяме си таблица:
⇒ Имаме два случая: 1) Пейките са 1, а столовете 10. 2) Пейките са 4, а столовете 3.
Отг. 1, 10 и 4, 3
Сега приложи наученото в теста, за да затвърдиш знанията си!