В предния урок си припомнихме какво беше линейно уравнение и стъпките за решаването му. Днес ще се запознаем с понятието еквивалентност. Ще разберем какви са правилата за доказването му и как можем да го използваме при решаването на различни математически задачи. 

📌 Кога две уравнения са еквивалентни?

✅Определение: Две уравнения се наричат еквивалентни (равносилни), ако имат едни и същи решения (корени), както по брой така и по стойност.

=> Еквивалентността ни показва, че и двете уравнения имат равни по брой и стойност решения.

Пример: Уравненията 2x + 3 = 7 и 2x = 4 са еквивалентни, защото и двете имат само по едно решение с равна стойност: x = 2.

📌Основни свойства на еквивалентните уравнения.

За да преобразуваме дадено уравнение в еквивалентно, можем да използваме следните шест свойства от миналия урок:

✅1. Симетрично свойство: 

Ако a = b, то b = a.

✅2. Транзитивно свойство: 

Ако a = b и b = c, то a = c.

✅3. Свойство на събиране:

Ако a = b, то a + c = b + с

✅4. Свойство на изваждане:

Ако а = b, то а — с = b — с

✅5. Свойство на умножение:

 Ако a = b, то a . c = b . c

✅6. Свойство на деление:

Ако а = b, то а : с = b : с

📌Примерни задачи:

Задача 1: Намерете уравнението кое уравнение е еквивалентно на: х + 2 = 4.

А) х + 2 = 0

Б) 4х — 8 = 0

В) 3х = 9

Г) 50х = — 100

Решение:

Трябва да намерим стойността на корените на всяко уравнение.

1) х + 2 = 4   а) х + 2 = 0   б) 4х — 8 = 0   в) 3х = 9    г)  50х = — 100 | : 50

    х = 4 — 2         х = — 2          4х = 8            х = 9 : 3       х = — 2

     х = 2                                       х = 2               х = 3
      

=> Единственото уравнение, което е еквивалентно на 1) х + 2 = 4 е 

✅б) 4х — 8 = 0, защото имат равен брой корени: един и стойността им е равна: 2.

Отговор: Б)                               

Задача 2: Еквивалентни ли са уравненията: 3х + 5 = 2 и 4(х — 1) = — 8

Решение:

✅Стъпка 1: Трябва да намерим корените на дадените уравнения 

1) 3х + 5 = 2                               2) 4(х — 1) = — 8 | : 4

    3х = 2 — 5                                     х — 1 = — 2

    3х = — 3 | : 3                                  х = -2 + 1

     х = — 1                                           х = — 1

✅Стъпка 2: Сравняваме броя и стойноста на корените.

1) И двете уравнения имат един корен.

2) И на двете уравнения стойността на корена е равен х = — 1

Всички условия за еквивалентност са изпълнени, следователно уравненията: 3х + 5 = 2 и 4(х — 1) = — 8 са еквивалентни 

( равносилни ).

Отговор: Да, еквивалентни са

Задача 3:При коя стойност на а, двете уравнения са равносилни:

ах + 2 = 4 и х + 2 = 3

Решение:

От определението, знаем че две уравнения, за да са еквивалентни трябва да имат равен брой решения и стойността им да е равна.

=> ще намерим стойността на корените на уравнението, което знаем: 

х + 2 = 3

х = 3 — 2

х = 1 

✅Това уравнение има един корен, който е равен на 1 => можем да заместим със стойността х = 1 в: ах + 2 = 4, за да намерим стойността на а.

1.а + 2 = 4

а = 4 — 2

а = 2

Нека направим проверка, за да сме сигурни че сме изпълнили условието да са равносилни.

Проверка:

1) х + 2 = 3    и     2) 2х + 2 = 4

    х = 3 — 2                2х = 4 — 2

    х = 1                     2х = 2 | : 2

                                  х = 1

✅И двете уравнения имат равен брой корени и равни стойности => са равносилни.

Отговор: а = 2

Задача 4: При коя стойност на а, двете уравнения са равносилни:

3ах + 5 = 11 и 2(0,5х² + 1) = 3

Решение:

От определението, знаем че две уравнения, за да са еквивалентни трябва да имат равен брой решения и стойността им да е равна.

=> ще намерим стойността на корените на уравнението, което знаем: 

2(0,5х² + 1) = 3

х² + 2 = 3

х² = 3 — 2

х² = 1

х = 1  или х = — 1   Това уравнение има два корена с различни стойностни.

За да намерим стойността на а за която двете ще са равносилни трябва да опростим: 3ах + 5 = 11

=> 3ах + 5 = 11

      3ах = 11 — 5

      3ах = 6

      ах = 6 : 3

      ах = 2, тъй като в другото уравнение имахме два корена и тука трябва да имаме същият брой => а = 2х, за да имаме втора степен и да махнем двойката отдясно, като: 2(0,5х² + 1) = 3

Проверка:

2х.х = 2

2х² = 2 | :2

x² = 1

x = 1  или х = — 1 => а = 2х

✅При а = 2х и двете уравнения имат равни, както по брой така и по стойности корени.

📌В този урок научихме какво значи еквивалентност, как можем да я използваме и прилагаме в задачите. Припомнихме си основните свойства, които използваме при решаването на уравнения.

Приложи наученото в теста, за да затвърдиш знанията!