Задача 1:

А) Първоначално един от най — известните градове в Италия — Венеция, е бил блато. За да достигнат днешната му красота, венецианските инженери използвали дървени прътове, чрез които са издигнали града над плаващите пясъци на блатото. Нормалната дължина на един такъв прът е равна на неизвестното число х от равенството

6х + (((503 + 765) : 4) . 6) = 4 . 64 — 37 . 64 + 63 . 64 . Колко метра е нормалната дължина на един такъв основополагащ прът?

Решение:

6х + (((503 + 765) : 4) . 6) = 4 . 64 — 37 . 64 + 63 . 64

6х + (1268 : 4) . 6 = 64 . (63 + 4 — 37)

6х + 317 . 6 = 64 . 30

6х + 1902 = 1920

6х = 18

х = 3

⇒ 3 метра

Отг. 3 метра

Б) С цифрите 4, 5 и а са образувани всички възможни трицифрени числа с различни цифри. Сборът на тези числа е  3774. Намерете цифрата а.

Решение:

1) Всички числа с различни цифри са:

45а, 4а5, 5а4, 54а, а45 и а54. Тогава сборът им е:

45а

4а5

5а4

54а

а45

а54

——

3774

⇒ Сборът на единиците е: 

2 . а + 2 . 4 + 2 . 5 = (цифра) 4

2 . а + 18 = (цифра) 4

⇒ 1 — ви вариант: Цифрата на десетиците е 2. Тогава 2 . а  + 18 = 24

⇒ а = 3

2 — ри вариант: Цифрата на десетиците е 3. Тогава 2 . а  + 18 = 34

⇒ а = 8

Продължаваме със сбора на десетиците, който е:

1 — ви вариант: 2 . 3 + 18 + 2(наум) = (цифра) 7

⇒ а не е 3

2 — ри вариант: 2 . 8 + 18 + 3(наум) = (цифра) 7

⇒ а = 8

Отг а = 8

В) След 2 години сумата от моите години и тези на майка ми ще бъде 70. Преди 3 години аз бях три пъти по — малък от нея. След колко години майка ми ще е 2 пъти по — голяма от мен?

Решение:

Нека сега аз съм на х години, а майка ми е на у години.

⇒ 1) След 2 години: х + 2 + у + 2 = 70

х + у = 66

у = 66 — х

2) Преди 3 години: (х — 3) . 3 = у — 3, но у = 66 — х

⇒ 3х — 9 = 66 — х — 3

4х = 72

х = 18

⇒ у = 66 — 18 = 48

3) ⇒ 18 + 12 = 30

48 + 12 = 60

⇒ Ще отнемат 12 години, докато майка ми е два пъти по — голяма от мен.

Отг. 12 години

Задача 2:

А) В училище 32 деца ходят на школа по математика, по биология — 19, а по физика — 23. От всички записани ученици 4 ходят и на трите предмета, 12 — само на математика, 9 — само на биология и 7 — само на физика. Колко деца ходят и на физика и на математика?

Решение:

Правим кръговете на Ойлер.

1) ⇒ 12 + 4 + а + b = 32

⇒  a + b = 16

2) 9 + 4 + a + c = 19

⇒ a + c = 6

3) 7 + 4 + b + c = 23

⇒ b + c = 12

4) Събираме 1) и 2)

⇒ 2а + b + c = 22, но знаем от 3), че b + c = 12.

⇒ 2a + 12 = 22

a = 5 деца ходят на математика и на биология

⇒ b = 16 — 5 = 11 деца ходят и на математика и на физика

⇒ c = 6 — 5 = 1 дете ходи и на физика и на биология

Отг. 11 деца

Б) От братовчедите ми всички без трима са високи, всички без трима са синеоки и двама са и високи и синеоки. Колко братовчеди имам?

Решение:

Нека общият брой на братовчедите е х.

Тогава броят на всички, които са високи, е х — 3, а на тези, които са сионеоки, също е х — 3. 

Пак правим кръговете на Ойлер и установяваме, че тези, които са само високи, са х — 3 — 2 = х — 5, а тези, които са само синеоки, също са х — 3 — 2 = х — 5.

⇒ х — 5 + х — 5 + 2 = х

х = 8 братовчеди общо

Отг. 8 братовчеди

В) На дъното на океана има затворено ковчеже със златна ключалка. В него има 4 кутии с по 2 перли и 7 кутии с по 3 перли. Всички кутии са еднакви и имат ключалки, които можем да отворим. Колко най — много ключалки трябва да отворим, за да изкараме 12 перли (не е задължително да са точно 12)?

Решение:

За да са възможно най — много, ще отворим всичките 4 кутии с по 2 перли и 2 кутии с по 3 перли.

Тогава ще стане 4 . 2 + 2 . 3 = 14 перли, но по условие не е задължително да са точно 12.

⇒ Общият брой на ключалките е една за ковчежето и остналите за кутиите.

⇒ 1 + 4 + 2 = 7 най — много ключалки

Отг. 7 ключалки

Задача 3:

А) Две моторни лодки тръгват едновременно от А и В една срещу друга. На отиване по течението на реката лодката, тръгнала от А, се движи с 62 км/ч., а на връщане се движи с 42 км/ч. Разстоянието между двете пристанища е 196 км. След колко време ще се засекат двете лодки, ако скоростта в спокойни води на тази, тръгваща от В е равна на скоростта на течението на реката, но в метри в секунди?

Решение:

1) За да намерим V1  на лодката, тръгнала от А, си съставяме равенството:

62 — Vтеч. = 42 + Vтеч.

⇒  Vтеч. = 10 км/ч.

⇒ V1  = 52 км/ч.

2) V2  на лодката, тръгнала от В е 10 м/с.

⇒ V2 = 10 . 3600 : 1000 = 36 км/ч.

3) Съставяме си уравнение кога ще се срещнат, като търсеното време го означаваме с t:

⇒ (V1  + Vтеч.) . t + (V2  — Vтеч.) . t = S

62 . t + 26 . t = 196

88t = 196

⇒ t = 2 и остатък 20

Отг. 2 часа и 13 мин

Б) Александър, Иван, Георги и Костадин са съотборници в клуб по плуване. Фамилиите им са Александров, Иванов, Георгиев и Костадинов, но само на един от тях му съвпада с името. Александър и Костадин са на една възраст с Иванов. Иван, Георги и Костадинов носят еднакъв номер обувки. Александър и Александров обичат да ходят на кино уикендите, а Костадин и Костадинов да играят билярд. Иван постоянно се конкурира с Александров кой е по — бърз във водата. Определете фамилиите на всяко от момчетата.

Решение:

1) По данните от условието откриваме, че Александър е Костадинов. След това имаме имаме две възможности:

— Георги да е Георгиев 

— Иван да е Иванов

2) Ако Георги, то и Иван трябва да е Иванов, но по условие само на един фамилията му съвпада с името.

⇒ Иван е Иванов.

Отг. Александър Костадинов, Иван Иванов, Георги Александров и Костадин Георгиев

В) Миро тръгва за Олимпийските игри на 01.08. в 10:00 с полет от София за Париж и пристига в 12:00 френско време. На 05.08. излита от Париж за София в 08:00 френско време и пристига в София в 12:00 българско време. Колко часа е пребивавал в Париж и колко часа продължава полетът в едната посока?

Решение:

1) От 01.08 12:00 часа до 05.08. 08:00 часа са 3 дена и 20 часа.

⇒ Общо е прекарал 3 . 24 + 20 = 92 часа в Париж.

2) 1 — ви полет: 12:00 — 10:00 = 2 часа с часовата разлика

2 — ри полет: 12:00 — 08:00 = 4 часа с часовата разлика

⇒ Времетраенето на полета е (4 + 2) : 2 = 3 часа.

Отг. 92 ч., 3 ч.

Задача 4:

Виктор нарежда фигури, като разполага с еднакви бели и черни квадратчета със страна 3 см.

А) Намерете периметъра и лицето на шестата подред фигура.

Решение:

1) Забелязваме, че във всяка следваща фигура черните квадратчета се увеличават с 2.

⇒ В шестата фигура ще има 6 . 2 = 12 черни квадратчета.

2) Р = 34 . 3 + 12 . 2 . 3 = 102 + 72 = 174 см.

3) S на едно квадратче е 3 . 3 = 9 кв.см.

⇒ Лицето на шестата фигура е:

S = 16 . 9 + 12 . 9 = (16 + 12) . 9 = 252 кв.см.

Отг. Р = 174 см., S = 252 кв.см.

Б) Намерете кой цвят квадратчета са повече в първите 18 фигури и с колко.

Решение:

1) В една фигура броят на белите квадратчета е 16.

⇒ 16 . 18 = 288 бели в първите 18 фигури.

2) В 18 — та фигура има 18 . 2 = 36 черни. Броят на черните в първите 18 фигури е: 

2 + 4 + …. + 36 = (2 + 36) . 18 : 2 = 342 черни

3) ⇒ 342 > 288 и черните са повече с 342 — 288 = 54 квадратчета.

Отг. Черните с 54

В) Намерете броя на черните квадратчета в първите 208 фигури.

Решение:

1) В 208 — та фигура има 2 . 208 = 416 черни квадратчета.

2) ⇒ По правилото на Гаус:
2 + 4 + …. + 416 = (2 + 416) . 208 : 2 = 43 472 черни квадратчета 

Отг. 43 472