Първи модул 

1.задача:

 Решение:

 Б) — 15 > -3,2 

 2.задача:

 Решение:

16х⁴ — (2х + 3)(2х — 3)(4х² + 9)

 Ще използваме ФСУ: (х — у)(х + у) = х² — у²

 => 16х⁴ — (2х + 3)(2х — 3)(4х² + 9) =

16х⁴ — (4х² — 9)(4х² + 9) =

16х⁴ — (16х⁴ — 81) =

16х⁴ — 16х⁴ + 81 =

= 81

 Отговор: в) 81 

3.задача:

 Решение:

(х + 3)² — (х — 2)² = 8х — 3

 Ще използваме ФСУ: (х — у)(х + у) = х² — у²

 => ((х + 3) + (х — 2)) . ((х + 3) — (х — 2)) = 8х — 3

(х + 3 + х — 2)(х + 3 — х + 2) = 8х — 3

(2х + 1) . 5 = 8х — 3

10х + 5 = 8х — 3

10х — 8х = — 3 — 5

2х = -8

х = -4

Отговор: г) -4 

4.задача

 Решение:  

Сборът на двата ∢ общо e 180⁰, защото са съответни.

=> х + 50⁰ + х + 10⁰ = 180⁰

2х + 60⁰ = 180⁰

2х = 120⁰

х = 60⁰

Отговор: б) 

5.задача:

 Решение:

Означаваме ∢ AOB като по — малък с х. Тогава AOD = x + 20⁰

Двата ∢ са съседни. Тогава техният сбор ще е 180⁰. 

=> ∢AOB + ∢AOD = 180⁰

 x + x + 20 = 180⁰

2x + 20 = 180⁰

2x = 160⁰

x = 80⁰ = ∢AOB

Отговор: а) 

6.задача:

 Решение: 

По теорема сборът на два съседни ∢ е 180⁰. 

Ако означим ∢ 1) с х⁰, а ∢ 2) ще е равен на х⁰ + 40⁰.

=> ∢ 1) + ∢ 2) = 180⁰ (т)

х⁰ + (х⁰ + 40) = 180⁰

х⁰ + х⁰ + 40⁰ = 180⁰

х⁰ + 40⁰ = 180⁰

2х⁰ = 180⁰ — 40⁰

2х⁰ = 140⁰

 х = 140 : 2

х = 70⁰

По — големият ∢ е (х + 40)⁰.

=> 70 + 40 = 110⁰.

Отговор: в) 

7.задача:

 Решение:

987² — 978² = ?

В този случай най — удобно ще е да използваме ФСУ за разлика от квадрати: (х + у)(х — у) = х² — у².

=> (987 + 978) . (987 — 978) = (1965) . (9)  = 17685.

Отговор: г) 

8.задача:

Решение: 

 Имаме общо 14 чифта чорапи:

 5 бели, 3 черни, 6 сиви.

Вероятността да се изтегли бял чифт е равна на броя на белите чифтове, разделен на общия брой чифтове.

=> 5/(5 + 3 + 6) = 5/14

Отговор: а) 

9.задача:

 Решение: 

Начална цена: 70лв.

Нова цена = (начална цена) + 20%(начална цена), 

Нова цена = 70 + 70 : 5

Нова цена = 70 + 14

Нова цена = 84лв.

Отговор: б) 

10.задача:

 Решение:

По теорема сборът на два съседни ∢ е 180⁰.

=>

∢ А = х⁰,

∢ В = 180 — (х + 20)

∢ В = 180 — х — 20

∢ В = 160 — х⁰,

∢ С = 180 — (2х + 10)

∢ С = 180 — 2х — 10

∢ С = 170 — 2х⁰

По теорема сборът на ъглите в триъгълник  е 180⁰.  

=>x + (160 — x) + (170 — 2x) = 180

 x + 160 — x + 170 — 2x = 180

160 + 170 — 2x = 180

330 — 2x = 180

150 = 2x 

x = 75⁰

Отговор: б) 

11.задача:

 Решение: 

Разглеждаме триъгълник ABH. ∢ BHA = 90⁰, ∢ ABH = 52⁰. 

Използваме теоремата за сбор на ъглите в триъгълник . 

 ∢BH + ∢ABH + ∢BAH = 180⁰

 90⁰ + 52⁰ + ∢BAH = 180⁰

 142⁰ + ∢BAH = 180⁰

 ∢BAH = 180⁰ — 142⁰

  ∢BAH = 38⁰

 Тъй като AL е ъглополовяща разделя ∢BAL на две равни части.

 ∢BAL = 92:2 = 46⁰

 ∢BAL = ∢BAH + ∢HAL

 46⁰ = 38⁰ + ∢HAL

 ∢HAL = 46⁰ — 38⁰

 ∢HAL = 8⁰

Отговор: в)

12.задача:

 Решение:

Разглеждаме триъгълниците ABD и BCD.

1. BD е обща.
2. ∢ ABD = ∢ BCD
3. ∢ ADB = ∢ CBА

=> триъгълниците ABD и BCD са еднакви по втори признак.

 =>срещу равни ъгли лежат равни страни (т), AD = BD и AB = BC

=> P(ABCD) = 2.(5+8)

      P(ABCD) = 2.13

      P(ABCD) = 26 cm

Отговор: а) 26cm 

13.задача:

 Решение: 

Нека една част ми е равна на х, следователно ще са 5х на брой, жените са 6х на брой и децата са 2х на брой.

 =>5x + 6x + 2x = 182

     13x = 182

     x = 182 : 13

     х = 14 

=>5x = 5 . 14 = 70 мъже, 6x = 6 . 14 = 84 жени и 2x = 2 . 14 = 28 деца

Нека разгледаме второто утношение, там една част ще бъде равна на у, следователно момчетата ще са 4у на брой, а момичетата 3у на брой.

    4y + 3y = 28

    7y = 28

     y = 28 : 7

     у = 4

4y = 4.4 = 16 момчета и 3y = 3.4 = 12 момичета 

Отговор: г) 16 

14.задача:

 Решение:

Общият брой на бонбоните е 4х. Тогава броят на близалките е 4х : 2 = 2х 

Цената на една близалка е равна на 1лв : 2 = 0,5 лв.

Стойността на всички лакомства общо е:

4х . 1 + 2х . 0,5 = 4х + х = 5х

Отговор: а) 

15.задача:

 Верен отговор: г)

16.задача:

 Решение:

Единият от ъглите на правоъгълен триъгълник  е 70⁰.

По теорема сборът от ъглите в триъгълник е 180⁰. Означаваме неизвестния ∢ с х.

=> 180 = 90 + 70 + х

     180 = 160 + х

      х = 180 — 160

      х = 20⁰.

 Нека медианата да пресича АВ в т.М. 

=> триъгълник  ВМС е равнобедрен, защото медианата към хипотенузата е равна на половината от нея (т).

∢ МВС = ∢ ВСМ = 20⁰. 

Нека ъглополовящата пресича АВ в т. L. Тогава търсеният от нас ∢ е LCM.

=> ∢ LCB = ½.  ∢ACB

     ∢ LCB = ½.  90⁰

     ∢ LCB = 45⁰

     ∢LCB = ∢LCM + ∢BCM = 45⁰

     45 = LCM + 20

     ∢LCM = 25⁰.

Отговор: б) 25⁰ 

17.задача:

 Решение: 

Първо трябва да приведем всички измерения в една и съща мерната единица. 

Понеже трябва да намерим обема в дм³, ще е най-удобно да работим в тази мерна единица. (100мм = 10см = 1дм)

АВ = 40см. = 4дм.

ВС = 700мм. = 7дм.

АС = 6дм.

V = AB . BC . AC

V = 4 . 7 . 6

V = 168дм³

 Отговор: а) 168дм³ 

18.задача:

 Решение: 

От свойството на симетралата знаем, че АМ = СМ. 

Pabc = AB + BC + AC = 24см.

Pmbc = MB + CM + CB

Pmbc = MB + AM + CB

Pmbc = AB + CB = Pabc — AC

Pmbc = 24см. — 10см.

Pmbc = 14см.

Отговор: в) 14см.

19.задача:

 Решение: 

Общото време е равно на 3 часа = 180 минути. 

360⁰ отговарят на 180 минути. 

=> 360⁰ = 180 мин. / : 180

2⁰ = 1 мин.

Мярката на ъгъл математика е равен на 84⁰, следователно 168⁰ : 2 = 84 минути

Васко е учил 84 минути по математика.

 Отговор: в) 84 минути 

20.задача:

 Решение:

 3х² — 5х + 2 =

 3х² — 3х — 2х + 2 =

 3х(х — 1) — 2(х — 1)=

 (3х — 2)(х — 1)

 => Многочленът се дели на (3х — 2)

Отговор: А) (3х — 2) 

Втори модул

21 задача:

А) Намерете стойността на х:

Намираме НОК на числата: 6, 4, 5 и 3, за да се оттървем от знаменателите.

НОК = 60. След това умножаваме израза по него.

Б) Намерете стойността на у ако знаете че а = х : ( — 38 )

3ay² — 2ay + 1 = 0

    Първо трябва да намерим а = — 114 : ( — 38 ) = 3

    Заместваме в израза.

    3 . 3y² — 2 . 3y + 1 = 0

    9y² — 6y + 1 = 0

    ( 3у — 1 )² = 0

    Следователно у = 1/3

В) Намерете средноаритметичното на трите числа: х, у, а.

    Средноаритметичното се намира, като сбора на числата разделим на техния брой.

    Следователно :

22 задача:

Искате да поръчате златен пръстен, в който отношението злато към сребро е  4 : 3.

А) Колко грама злато и колко грама сребро, трябва  да  използва златаря ако пръстена тежи 14 грама?

    Знаем че пръстена тежи 14 грама а отношението злато към сребро е  4 : 3.

    Нека една част ни е х. Тогава златото ще ми е 4х, а среброто 3х.

    Следователно 4х + 3х = 14 грама ( теглото на пръстена )

    7х = 14 грама

    х = 2 грама 

    Злато — 4х = 4 . 2 = 8 грама

    Сребро — 3х = 3 . 2 = 6 грама

Б) Колко лева ще струва пръстена, ако грам сребро струва 20 лв, а златото е със 120% по — скъпо?

    Сребро — 20 лв.

    Злато — 20 + 20лв . 120%= 20 + 20 . 1,2 = 20 + 24 = 44 лв.

    Имаме 6 грама сребро и 8 грама злато.

    Следователно 6 . 20 + 8. 44 = 120 + 352 = 472 лв.

В) Тъй като не ви стигат парите, решавате да изтеглите кредит, за да може да си го позволите. Вие разполагате само с половината сума за това кредита е 50 % от цената на пръстена, а лихвата е 10 % за целия период на погасяване. Намерете колко пари е струвал пръстена след лихвата и каква е месечната вноска за кредита ако сте успели да го върнете за 4 месеца.

    Разполагаме със половината сума, която е 472 : 2 = 236 лв.

    Следователно теглим кредит за 236 лв., а лихвата ми е 10% за целия период. Сумата, което ще трябва да върна на     банката ще бъде:

    236 + 236.10% = 236 + 23,6 = 259,6 лв.

    Щом ще връщам кредита 4 месеца трябва 259,6 : 4  = 64,9 лв.Това е месечната вноската. Цената на пръстена след кредита ще е:

    259,6 + 236 =495,6 лв.

Отговор: 

    А) Злато -8 грама, сребро — 6 грама.

    Б) Цената е: 472 лв.

    В) Вноската е: 64,9 лв. Цената е на пръстена е: 459,6 лв.

23 задача

В триъгълника АВС отношението на <АВС : <ВАС : <АСВ е както 4 : 3 : 5. 

Височините от върховете А и С пресичат страните BС и АВ съответно в точките М и Н. Ако страната АС е 8 см.:

А) Намерете ъглите на триъгълник АВС.

Знаем какво е отношението на ъглите <АВС : <ВАС : <АСВ е както 4 : 3 : 5

Обозначаваме една част да е х.  

 <АВС = 4х

<ВАС = 3х

<АСВ = 5х

Знаем че сбора от всички ъгли в един триъгълник е 180 градуса.

Следователно <АВС + <ВАС + <АСВ = 180°

4х + 3х + 5х = 180°

12х = 180°

х = 15°

 <АВС = 4х = 4 .15 = 60°

<ВАС = 3х = 3 . 15 = 45°

<АСВ = 5х = 5 . 15 = 75°

Б) Ако симетралата на страната AC пресича AC и AB в точките N и Q и периметърът на ABC е 32 см., намерете периметъра на триъгълника BQC.

Периметъра на триъгълник АВС = АВ + АС + ВС = 34 см.. АС = 8см.

АВ + ВС + 8 = 34

АВ + ВС = 26

Тъй като АQ е средна отсечка и образува триъгълник АQС, то той ще бъде равнобедрен АQ = QС 

Нека  АQ = а = QС и QВ = с

АВ = АQ + QВ = а + с

От периметъра на триъгълника знаем че АВ + ВС = 26см. Заместваме 

АВ = а + с

а + с + ВС = 26см.

Периметъра на триъгълник  BQC = BQ + QC + BC, но ние знаем BQ = с, а  

а = QС

Периметъра на триъгълник  BQC = а + с + ВС = 26см.

В) Колко сантиметра е страната МН?

  Знаем че АС е е 8 см., а точка N е среда. Триъгълниците AMC и ACH са правоъгълник и MN и NH са медиани спуснати от правия ъгъл

 MN = NH = AN = NC = 4 см. (т), триъгълник NHM — равнобедрен 

Триъгълниците AHN и  NMC са също равнобедрени. Следователно мога да намеря ъглите <ANH и <MNC.  <ANH = 90°, <MNC = 30°,  

<HNM = 180° — ( <ANH + <MNC ) = 60°.

Триъгълникът MNH — равнобедрен с ъгъл от 60 градуса следователно е равностранен (т)  NH = NM = HM = 4 см.

Отговор:

А)

<АВС = 60°

<ВАС = 45°

<АСВ = 75°

Б)

Периметъра на триъгълник  BQC = 26см.

В)

HM = 4 см.