1. Какво представляват?
   Кръговете на Ойлер са графичен метод за представяне на логически отношения между множества.
2. Основна идея

• Всеки кръг представлява дадено множество (група от елементи).
• Отношенията между множества се показва чрез начина, по който кръговете се припокриват или съдържат един друг.

3. Основни видове взаимоотношения

• Пълно включване: Ако едно множество е изцяло вътре в друго, значи всички негови елементи принадлежат на по-голямото множество.
• Частично припокриване: Ако два кръга частично се припокриват, това означава, че някои елементи са общи за двете множества.
• Няма връзка: Ако два кръга не се припокриват изобщо, техните множества нямат общи елементи.

4. Приложение

• Използват се в логиката за изобразяване на твърдения и аргументи.
• Помагат при анализа на взаимоотношения между различни категории.
• Използват се в учебния процес, за да улеснят разбирането на логически зависимости.

5. Примерни задачи

Задача1: В едно училище има ученици, които изучават математика и физика. Известно е, че:

• 30 ученици изучават математика.
• 20 ученици изучават физика.
• 10 ученици изучават и двата предмета.

Въпрос:

Колко ученици изучават само математика, само физика и нито един от двата предмета, ако общият брой ученици в училището е 50?

Решение с кръгове на Ойлер:

1. Представяме множества:
   • M – ученици, изучаващи математика
   • F – ученици, изучаващи физика
2. Пресичането на кръговете е учениците, които изучават и двата предмета (10).

1. Учениците, които изучават само математика: 30−10=20
2. Учениците, които изучават само физика: 20−10=10
3. Учениците, които не изучават нито един от двата предмета: 50−(20+10+10)=10

Отговор:

• Само математика: 20 ученици
• Само физика: 10 ученици
• И двата предмета: 10 ученици
• Нито един от двата предмета: 10 ученици

Задача 2: В училище децата играят игра с числа. Учителят им дава следните множества (групи) от естествени числа:

• Множество A – числата, по-малки от 10. (A= {1,2,3,4,5,6,7,8,9})
• Множество B – четните числа по-малки от 20. (B= {2,4,6,8,10,12,14,16,18})

Въпроси:

       А)    Кои числа принадлежат и на двете множества едновременно?

       Б)    Кои числа принадлежат само на множеството A, но не и на B?

       В)    Кои числа принадлежат само на множеството B, но не и на A?

Решение с кръгове на Ойлер:

• Множество A съдържа числата 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9.
• 
• Множество B съдържа числата 2, 4, 6, 8, 10, 12,14,16 и 18.

А) Множествата  A и  B имат общи елементи 2 , 4 , 6 , 8.

Б) Елементите, които са само в A са 1 , 3 , 5 , 7 , 9.

В) Елементите, които са само в B са 10 , 12 , 14 , 16 , 18.

Задача 3:

На спортен лагер има 60 деца. От тях 30 обичат футбол, 20 играят волейбол и 25 тренират баскетбол. Знае се, че 6 деца играят футбол и волейбол, 8 деца играят футбол и баскетбол, а 5 деца тренират волейбол и баскетбол. Колко деца играят и трите спорта?

Решение:

Нека броят на децата, които играят и трите спорта означим с x.

Първо преброяваме всички ученици (30 + 20 + 25). След това изваждаме тези, които сме броили 2 пъти –(6 + 8 + 5). Накрая прибавяме тези, които сме извадили напълно + x.

Следователно 60 = 30+20+25−6−8−5+x

x = 4

Следователно отговорът е, че има 4 деца, които играят и трите спорта.

Задача 4:

В един випуск има 70 ученика. От тях 35 учат математика, 25 — английски, а 30 — френски. Знае се още, че 8 учат математика и английски, 9 деца — математика и френски и 6 — английски и френски. Колко ученика изучават и трите предмета?

Решение: 

Нека броя на учениците, които изучават и трите предмета означим с x.

Следователно 70 = 35+25+30−8−9−6+x 

70=67+x 

x=3

Следователно отговорът е, че учениците, които изучават и трите предмета са трима.