Правило на Гаус

Тестът по — долу съдържа няколко подобни и не чак толкова подобни задачи на описаните по — долу. Ако имате нужда от помощ на някоя задача не се притеснявайте да се обърнете към родител или учител.

ВАЖНО! След като направите теста, всяка задача има кратко решение, което да Ви помогне ако изпаднете в затруднения!

📌 1. Въведение

Здравейте, малки математици! 🎉

Днес ще научим един много бърз и лесен начин да събираме числа! Ще открием метода на Гаус, който ще ни помогне да намираме сборове за секунди.

📖 2. Правило на Гаус

Гаус Карл Фридрих бил много умен ученик. Един ден учителят му дал задача, за да го провери:

🔹 Съберете числата от 1 до 100!

Учителят очаквал, че учениците ще смятат дълго, но Гаус веднага намерил отговора – 5050!

Как успял толкова бързо?

Гаус забелязал, че числата могат да се съберат по двойки:

➡ 1 + 100 = 101

➡ 2 + 99 = 101

➡ 3 + 98 = 101

… и така нататък до средата!

Получаваме 50 такива двойки, а всяка от тях дава 101.

 50 × 101 = 5050 ✅

Така се е появило Правилото на Гаус! 

🔢 3. Какво е “стъпка” и как да я използваме?

1) Какво означава „стъпка“?

Понякога срещаме така наречените „задачи със стъпка“. Но какво означава това?

Да разгледаме един прост пример – редицата:

1, 3, 5, 7, 9, … 71, 73

Тук виждаме, че всяко следващо число се получава, като прибавим 2 към предишното:

— 1 + 2 = 3

— 3 + 2 = 5

— 5 + 2 = 7

— …

Това означава, че стъпката на редицата е 2.

2) Как да намерим броя на числата в редицата със стъпка?

Когато имаме такава редица, можем да използваме проста формула, за да разберем колко числа има в нея:

(последното число − първото число) : стъпката + 1

Ако стъпката ни е 1 няма смисъл да записваме делнието и формулата ще бъде:

(последното число − първото число) + 1

В нашият случай:

— Последното число е 73

— Първото число е 1

— Стъпката е 2

Пресмятаме:

(73 – 1) : 2 + 1 = 37

⇒ В редицата има 37 числа.

3) Как да изчисляваме по — бързо?

Има формула, която можем винаги да използваме:

Сбор = ((първото число + последното число) . броя) : 2.

⇒ В дадения пример ще се получи:

((1 + 73) . 37) : 2 = 37 . 37 = 1369 е сумата от всички числа.

📊 4. Примерни задачи

Задача 1: Намерете сбора на числата 3 + …. + 66.

Решение:

1) Броят = (66 — 3) + 1 = 64

2) ⇒ Сборът = ((66 + 3) . 64) : 2 =

= (66 . 64) : 2 =

= 2112

Отг. 2112

Задача 2: Пресметнете сумата 5 + 10 + 15 + … + 210.

Решение:

1) Установяваме, че стъпката е 5.

2) Броят = (210 — 5) : 5 + 1 = 42

3) ⇒ Сборът = ((210 + 5) . 42) : 2

= (215 . 42) : 2 =

= 4515

Отг. 4515

Задача 3: Събрах 8 последователни числа и получих 188. Кое е най — малкото измежду тези числа?

Решение:

1) Броят на числата е 7 по условие.

2) Нека първото число е х. Второто ще е х + 1.

⇒ Последното е х + 7.

3) ⇒ Сумата = ((х + х + 8) . 7) : 2

((2х + 7) . 8) : 2 = 188

(2х + 7) . 8 = 376

2х + 7 = 47

х = 20

⇒ Най — малкото число е 20.

Отг. 20