В предишния урок научихме, какво е едночлен и неговите основни свойства. Знанията, които придобихме ще ни трябват в този урок, защото многочлените и едночлените са свързани.

📌1. Какво е многочлен?
Многочленът е алгебричен израз, който е изграден от едночлени свързани помежду си със знаците + и — .

Примери за многочлени:

✅3x² + 2y: Многочлен, сбор от два едночлена: 3x² и 2y.

✅4y³ — 5z:  Многочлен, разлика от два едночлена: 4y³ и 5z

Виждаме че в многочлените има различни едночлени с различни степени и числа . Оттук идва въпроса как да подреждаме многочлените, за да имат нормален и правилен вид.

📌2. Какво означава многочлен в нормален вид?
Представи си, че подреждаш книгите си на рафта – започваш с най-голямата и завършваш с най-малката. Същото правим и с многочлените – подреждаме едночлените по намаляващ ред според тяхната степен и накрая на израза поставяме константата (числото).

Пример: Изразът 3x — 2 + 4x² в нормален вид се записва като 4x² + 3x — 2, защото 4x² има най-висока степен, следва 3х и накрая на многочлена винаги се поставя константата (числото) -2.
В урока за едночлени научихме, че те имат степен, а многочлените имат ли?

📌3. Как определяме степента на многочлен?
Степента на многочлена е като височината на най-високия небостъргач в града – тя е най-високата степен, която присъства в едночлените.

✅Пример: При многочлена 4x³ — 2x² + x — 5:

Нека видим какви степени имаме в този многочлен.

 4x³ има степен 3 ,

 -2x² има степен 2 ,

 x има степен 1 ,

 -5 е константа, което означава, че има  степен 0.

Степента на многочлена е 3, защото най-високата степен е 3.

📌4. Как събираме, изваждаме и умножаваме многочлени?
Събиране и изваждане на многочлени
Когато събираме или изваждаме многочлени, групираме и комбинираме едночлените, които имат еднакъв степенен показател.

✅Пример: 4х³ + 17х -12 + 8х³ — 6 + 3х

 Първо трябва да групираме едночлените с еднакъви степени.

4х³ + 8х³ + 17х + 3х -12 — 6 

След като сме извършили групирането остава да извършим действията между едночлените с еднакъв степенен показател.

12х³ + 20х -18 

Извършихме действията и накрая остава да проверим дали многочлена е в нормален вид. В този случай всичко е наред и можем да продължим.

Резултатът е: 12х³ + 20х -18 

📌Как да умножаваме многочлени?
При умножението използваме разпределителното свойство, което гласи първия член от първата скоба умножаваме с членовете на втората скоба, след това взимаме втория член на първата скоба и го умножаваме с членовете на втората скоба и така докато не свършат членовете на първата скоба.

Пример за разпределителни свойство:

(a + b )( d+ c ) = ad + ac + bd + bc

След като си припомнихме свойството нека започнем да го прилагаме в задачите.

✅Пример:

Извършете умножението между скобите.

( 2x² + 4х + 3 )( 3х + 2) 

Първият член  на първата скоба по членовете от втората скоба.

2x² . 3х + 2x² . 2

Вторият член на първата скоба по членовете от втората скоба.

4х . 3х + 4х . 2

Третият член на първата скоба по членовете от втората скоба.

3 . 3х + 3 . 2

Нека сега ги запишем на един ред и извършим действията.

2x² . 3х + 2x² . 2 + 4х . 3х + 4х . 2 + 3 . 3х + 3 . 2 = 

6х³ + 4x² + 12x² + 8х + 6х + 6 =

Остава да извършим действията между едночлените с еднакви степени.

6х³ + 4x² + 12x² + 14х + 6

Вече всичко е наред и само трябва да проверим дали многочлена е в нормален вид. 

В нормален вид е: 6х³ + 4x² + 12x² + 14х + 6

В този урок научихме, че многочлените са алгебрични изрази, съставени от едночлени. Разбрахме как да ги записваме в нормален вид, как се определя степента им, както и как да извършваме събиране, изваждане и умножение с тях. Тези знания са основа за решаването на по-сложни задачи.

Приложи наученото в теста, за да затвърдиш знанията!