В тази тема ще разгледаме една от основните теми в аритметиката — модул на число (или абсолютна стойност). 

📌Какво е модул:

Модулът на едно число показва неговата абсолютна стойност, т.е. разстоянието му до нулата на числовата ос, независимо дали числото е положително или отрицателно.

🔢Пример:

|5| = 5, |-5| = 5, защото абсолютната стойност от -5 до 0 е 5

Чертеж:

Но как решаваме модулни уравнения?

📌 1. Какво е модулно уравнение?

Определение: Модулното уравнение е уравнение, в което неизвестното се намира под знака на модула (абсолютната стойност).

🔢Примери за модулни уравнения:

|ax + b| = c

|ax — b| = c

с 0

❗( c ) задължително трябва да е неотрицателно число, тъй като стойността на модула винаги е положителна, тъй като показва абсолютната стойност на израза.

📌 2. Как решаваме модулни уравнения?

1️⃣ За да решим модулно уравнение трябва да премахнем модула. Това става, като разгледаме два случая – когато изразът под модула е положителен и когато е отрицателен.

Основно правило:

✅Първи случай: 

| х | = х, когато х > 0

✅Втори случай: 

| х | = — х, когато х < 0

🔢Пример 1:

|x — 3| = 5

Разглеждаме двата случая:

✅Първи случай:

(х — 3) = 5

х — 3 = 5

х = 5 + 3

х = 8

✅Втори случай:

(х — 3) = — 5

х — 3 = — 5

х = — 5 + 3

х = — 2

Отговор: х = 8 или х = — 2

🔢Пример 2:

|2x + 1| = 7

Разделяме уравнението на два случая:

✅Първи случай:

(2x + 1) = 7

2x + 1 = 7

2х = 7 — 1

2х = 6

х = 3

✅Втори случай:

(2x + 1) = — 7

2x + 1 = — 7

2х = — 7 — 1

2х = — 8

х = — 4

Отговор: х = 3 или х = — 4

📌 3. Решаване на по-сложни модулни уравнения.

Когато модулното уравнение съдържа допълнителни членове извън модула, трябва да прехвърлим всичко отдясно, за да може модула да остане сам отляво .

🔢Практическото правило:

|ax + b| — d = c

|ax + b| = c + d

След като модула вече е сам отляво остава да приложим правилото.

✅Първи случай:

ax + b = c + d

✅Втори случай:

ax + b = — (c + d)

🔢Пример:

|x — 2| + 3 = 7

Изолираме модула:

|x — 2| = 7 — 3

|x — 2| = 4

Разделяме уравнението на два случая:

✅Първи случай:

x — 2 = 4

х = 4 + 2 = 6

✅Втори случай:

х — 2 = — 4

х = — 4 — ( — 2)

х = — 4 + 2

х = — 2

Отговор: х = 6 или х = — 2.

📌 5. Заключение:

В този урок се запознахме с понятието модул (абсолютна стойност) и как се използва в уравненията. Научихме, че модулът показва разстоянието на едно число до нулата.

✅Разгледахме как се решават модулни уравнения, като прилагаме основното правило – да разглеждаме два случая: когато изразът под модула е положителен и когато е отрицателен.

✅Научихме и как да решаваме по-сложни уравнения, като първо изолираме модула.

Умението да решаваме модулни уравнения ни помага да разбираме по-добре числовите изрази и развива логическото мислене.

Приложи наученото в теста, за да затвърдиш знанията!