📌 1. Въведение

👋 Здравей! Днес ще се запознаем с една интересна тема – преброяването! Често се случва да се питаме:

• По колко начина мога да облека различни тениски и панталони? 
• По колко начина мога да избера път до училище? 
• По колко начина мога да подредя играчките си? 

Всички тези въпроси са свързани с преброяването – начинът, по който намираме колко възможности има в дадена ситуация.

За да разберем това по-лесно, ще научим няколко важни правила и стратегии. Те ще ни помогнат бързо и лесно да броим възможностите, без да се объркваме! Ще разгледаме няколко примерни задачи, ще ги решим стъпка по стъпка и накрая ще имаме тест от 10 въпроса, за да проверите как сте усвоили материала.

🔢 2. Пример с алгоритъм за решаване

✅ Преброяване на възможности в редичка:

Задача 1: На пейка искали да седнат 5 деца —  Андрей, Борис, Васил, Георги и Димитър. По колко начина може да се случи това?

Решение:

1) Нека първо обозначим петте места, на които са разположени децата — () () () () ()

2) Сега на всяко място трябва последователно да записваме колко различни човека могат да седнат там. На първото място са 5 (всеки един може да седне). На второто възможностите намаляват с една, тъй като на първата позиция вече имаме едно заето място, и стават 4 и така правим до последното място.

⇒ (5) (4) (3) (2) (1)

След това трябва да умножим числата в кутийките, за да пресметнем всички възможности

⇒ 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 възможни разпределения на местата.

    Отг. 120

✅ Преброяване на възможности в кръг:

Задача 2: По колко различни начина могат да се подредят 5 момчета в един кръг?

Решение:

Правило: При кръга правим същото като при редичката, но произведението го разделяме на броя на участниците.

1) Местата ще бъдат попълнени по същия начин (5) (4) (3) (2) (1).

2) ⇒ По правилото: (5 . 4 . 3 . 2 . 1) : 5 = 24 начина

    Отг. 24 начина

📊 3. Примерни типове задачи 

Зад. 1 — Колко на брой са трицифрените числа с различни цифри, записани само с нечетни цифри?

Решение:

1) Нечетните цифри са 1, 3, 5, 7 и 9.

2) Пак си правим трите места, на които може да са разположени цифрите () () () и ги попълваме, като имаме предвид, че числата трябва да са с различни цифри по условие. Тогавва на първа позиция ще имаме 5 опции, на втора 4 и на трета 3.

3) ⇒ 5 . 4 . 3 = 60 числа

    Отг. 60 числа

Зад. 2 — Колко са четирицифрените числа с различни цифри, записани с цифрите 0, 9, 5, 3 и 7, които се делят на 5?

Решение:

1) Имаме два случая, в които, за да се делят числата на 5, трябва да завършват или на 0, или на 5.

2) В първия случай () () () (1 фиксирана цифра — 0) на първа позиция имаме 4 възможности, на втора 3 и на трета 2.

⇒ 4 . 3 . 2 . 1 = 24 числа при първия случай

3) Във втория случай () () () (1 фиксирана цифра — 5) на първа позиция имаме 3 възможности, тъй като числото не може да започва с 0, на втора пак имаме 3 и на трета 2.

⇒ 3 . 3 . 2 . 1 = 18 числа при втория случай

4)  Сборът на двата случая ще ни даде крайния отговор.

⇒ 24 + 18 = 42 числа

    Отг. 42 числа 

Зад. 3 (Основна задача!) — Колко на брой са трицифрените числа, в записа на които има поне една шестица?

Решение:

В тази задача ще разгледаме 3 варианта, като първият е една от цифрите да 6, вторият е две от цифрите да са 6 и третият е и трите цифри да са 6.

1) () () () —> В първия вариант имаме три места, на които може да е разположена шестицата.

⇒ (1) (9) (9), (8, защото 0 — та не може да е първа) (1) (9) и (8) (9) (1)

⇒  1 . 9 . 9 + 8 . 1 . 9 + 9 . 9 . 1 = 225 числа за първия вариант

2) Във втория вариант пак имаме три възможности, по които могат да се наредят шестиците.

⇒ (1) (1) (9), (1) (9) (1) и (8) (1) (1)

⇒ 1 . 1 . 9 + 1 . 9 . 1 + 8 . 1 . 1 = 26 числа за втория вариант

3) В третия вариант имаме едно единствено число, което да съдържа три шестици — 666.

4) ⇒ 225 + 26 + 1 = 252 числа общо

    Отг. 252 числа

Зад. 4 —  От цифрите 8, 2 и х са написани всички трицифрени числа с различни цифри. Сборът на тези числа е 3852. Намерете х.

Решение:

1) Нека съберем всички възможни числа, съставени с тези цифри.

8х2 + 82х + 2х8 + 28х + х82 + х28 = 3852

2) При събирането на единиците се получава 2 . 2 + 2 . 8 + 2 . х

⇒ 20 + 2 . х = а2 (число, завършващо на 2)

а може да бъде 2 или 3, тъй като х е цифра от 1 до 9.

2) Ако а е 2, то х = 1 и при събирането на десетиците ще стане:

20 + 2 + 2(на ум) = 24, а трябва последната цифра да е 5.

⇒ а = 2 не е вярно

3) Ако а е 3, то х = 6 и при събирането на десетиците ще стане:

⇒ 20 + 12 + 3(на ум) = 35

⇒ а = 3 е вярно и х = 6

    Отг. х = 6

Зад. 5 — Цветарка искала да подреди 7 от цветята си в кръг. По колко начина може това да стане?

Решение:

Следваме алгоритъма за преброяване в кръг:

1) Местата ще бъдат попълнени по следния начин: 

(7) (6) (5) (4) (3) (2) (1)

2) ⇒ По правилото: (7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1) : 7 = 720 начина

Зад. 6 — Едно четирицифрено число ще наричаме красиво, ако сборът на първите му две цифри е равен на сбора на последните две. Кои са числата със сбор от цифрите 6?

Решение:

1) Нека abcd е красиво число.

⇒ а + b + c + d = 6

⇒ a + b = c + d = 3

2) Опциите от 2 цифри да получим сбор 3 са: 1 + 2 и 3 + 0.

⇒ Числата ще са: 1212, 1221, 2112, 2121, 3030 и 3003.

    Отг. 1212, 1221, 2112, 2121, 3030 и 3003

Зад. 7 — Имаме 6 топки — 1 синя, 2 розови и 3 жълти. По колко начина можем да ги подредим в редица?

Решение:

1) Нека фиксираме синята топка да е на първа позиция.

2) Сега трябва да видим колко варианта имаме за разпределение на останалите топки на останалите места. За тази цел ще разгледаме два случая.

3) Първи случай: Разпределението на останалите 5 топки започва с розова на първа позиция.

⇒ Имаме 4 позиции, в които да разпределим 3 жълти и 1 розова топки.

⇒ Възможностите са (жжжр), (жжрж), (жржж) и (ржжж) — общо 4 за първия случай.

4) Втори случай: Разпределението на останалите 5 топки започва с жълта на първа позиция.

⇒ Имаме 4 позиции, в които да разпределим 2 жълти и 2 розови топки.

⇒ Възможностите са (жжрр), (рржж), (жржр), (ржрж), (жррж) и (ржжр) — общо 6 за втория случай.

5) Имаме 4 + 6 = 10 варианта, при които синята топка е първа. Сега трябва да умножим този резултат по 6, защото синята топка може да се намира на всяко едно от шестте места.

⇒ 10 . 6 = 60 начина за подреждане

    Отг. 60 начина

Тестът по — долу съдържа няколко подобни и не чак толкова подобни задачи на описаните досега. Ако имате нужда от помощ на някоя задача не се притеснявайте да се обърнете към родител или учител.

ВАЖНО! След като направите теста, всяка задача има кратко решение, което да Ви помогне ако изпаднете в затруднения!