Разлагането на многочлени е един от най-важните методи в алгебрата. То помага да опростяваме изрази, да решаваме уравнения и да работим по-лесно с математически зависимости. В този материал ще разгледаме четири основни метода за разлагане:

1. Изнасяне на общ множител 
2. Разлагане чрез формулите за съкратено умножение 
3. Разлагане чрез групиране 
4. Комбинирано разлагане 

✅ В този урок ще научиш кога да използваш всеки метод, как да го прилагаш и ще видиш примерни задачи с обяснения. 

1️⃣ Разлагане чрез изнасяне на общ множител 

Когато всички членове на многочлена имат общ множител, можем да го изнесем пред скоби. Това е най-лесният метод за разлагане.

Формула:

    ax + ay = a(x + y)

Пример 1:

Разложи многочлена:

    6x + 9

 Стъпка 1: Намираме общ множител – тук и двете числа се делят на 3.

    6x + 9=3(2x + 3)

Тъй като няма какво повече да изкараме пред скоби => сме го разложи до край.

Пример 2:

Разложи:

    8х²у + 12ху² — 16ху

Стъпка 1: Виждаме че имаме общ множител, който е 4xy.

    8х²у + 12ху² — 16ху = 4xy(2x + 3y − 4)

📌 Важно правило: Винаги изнасяй най-големият общ множител! Това прави израза най-опростен.

2️⃣ Разлагане чрез формулите за съкратено умножение 

Формулите за съкратено умножение са основното оръжие при разлагането. Ако ги разпознаваш, ще можеш бързо да разбиваш сложни многочлени на множители! Нека разгледаме най-важните формули, които ще използваме.

📌 Квадрат на сбор и разлика:

    (a + b) ² = a² + 2ab + b²

    (a — b) ² = a² — 2ab + b²

📌Разлика на квадрати:

    (а — b )( a + b) = a² — b²

📌 Разлагане на сбор и разлика на кубове:

    (a + b) ³ = a³  + 3a²b + 3ab² + b³

    (a — b) ³ = a³  — 3a²b + 3ab² — b³

Пример 1 (разлика на квадрати):

Разложи: 
    x² — 25

Разпознаваме формулата : ( а — b )( a + b ) = a² — b²
 => x² — 25 = (x — 5)(x + 5)

Пример 2 (квадрат на сбор):

Разложи:
    x² + 6x + 9

Разпознаваме формулата: ( a + b ) ² = a² + 2ab + b²
x² + 6x + 9 = (x + 3)²

Съвет: Ако първия и последния член са квадрати, а средният член е удвоеното им произведение, то използвай формулите за квадрат!

3️⃣ Разлагане чрез групиране 

Когато няма общ множител за всички членове, но можем да ги групираме, така че да изнесем множител от всяка група.

Пример 1:

Разложи:

    ax + ay + bx + by

Стъпка 1: Групираме подходящо, така че да се образуват две двойки.

    (ax + ay) + (bx + by)

Стъпка 2: Изнасяме общ множител от всяка група.

    a(x + y) + b(x + y)

Стъпка 3: Отново изнасяме общ множител.

    (x + y)(a + b)

Пример 2:

Разложи:

    х ³ — х² + 3х — 3

Стъпка 1: Групираме

    (х³ — х²) + (3х — 3)

Стъпка 2: Изнасяме общ множител

    х²(х — 1) + 3(х — 1)

Стъпка 3: Изнасяме това, което се повтаря (х — 1)

    (х — 1)(х² + 3)

 Съвет: Групирай така, че да получиш повтарящи се множители,които ще можеш да изкараш пред скоби!

4️⃣ Разлагане чрез комбиниране на методи

Понякога не е достатъчно да приложим само един метод. Трябва да комбинираме няколко техники, за да разложим сложните многочлени.

Пример:

Разложи:

    х³ — 3х² — х + 3

Стъпка 1: Групиране на членовете

Групираме първите два и последните два члена:

    (х³ — 3х²) — (х — 3)

 Стъпка 2: Изнасяне на общ множител от всяка група:

    х²(х — 3) — 1(х — 3)

Стъпка 3: Изнасяне на общ множител (x−3):

    (х — 3)(х² — 1)

Стъпка 4: Разпознаване на разлика на квадрати: ( а — b )( a + b ) = a² — b²

=>  х² — 1 = (х — 1)( х + 1)

Краен резултат:

    (x − 3)(x − 1)(x + 1)

✅ В този пример комбинирахме:

• Групиране на членовете
• Изнасяне на общ множител
• Разлика на квадрати

Съвет: Винаги след разлагането проверявай дали може да се приложи още някой метод!

✅В този урок научихме тункостите при разлагането, като ги разделихме на 4 основни типа:

1. Изнасяне на общ множител 
2. Разлагане чрез формулите за съкратено умножение 
3. Разлагане чрез групиране 
4. Комбинирано разлагане 

Приложи наученото в теста, за да затвърдиш знанията!